Le shopping des kolkhoziens

Solution de l'énigme du n°867 d'avril 2005
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Soit x le nombre de femmes et y le nombre d'hommes.

Chaque homme ayant acheté une paire de chaussures à 19 roubles et chaque femme une paire de bas à 13 roubles, la recette de Grigori Bolovidietz est de : 13 x + 19 y roubles.
Comme cette recette est de 1000 roubles, il nous faut donc résoudre l'équation :
13 x + 19 y = 1000
Une équation, 2 inconnues, voilà qui peut admettre de nombreuses solutions.
Essayons de la simplifier en nous rappelant la définition suivante :
Deux nombres a et b sont dit égaux modulo un troisième nombre c, si le reste de la division de a par c est égal au reste de la division de b par c.
Si on divise notre équation par 13, on peut écrire :
(13 x) mod 13 + (19 y) mod 13 = 1000 mod 13
Sacant que 13 x est évidemment divisible par 13 et que le reste de la division de 1000 par 13 est 12, on a donc :
(19 y) mod 13 = 12
19 y étant égal à 13 y + 6 y
L'équation précédente s'écrit : (13 y ) mod 13 + ( 6 y ) mod 13 = 12
soit : (6 y ) mod 13 = 12
Ce qui équivaut à : y mod 13 = 2
Cette dernière réduction se justifie puisque :
(6 y ) mod 13 = 12 sigifie que : 6 y = 13 a + 12 (avec a comme paramètre)
donc puisque 6 et 13 sont premiers entre eux que : y = 13 b + 2
Le résultat y mod 13 = 2 signifie donc que y est de la forme :
y = 13 a + 2
en donnant toutes les valeurs possibles à a on obtient 4 solution pour y :
a = 0 => y = 2 ce qui entraine x = 74 (1000 - 2x19)/13 = 74
a = 1 => y = 15 ce qui entraine x = 55
a = 2 => y = 28 ce qui entraine x = 36
a = 3 => y = 41 ce qui entraine x = 17
Ce sont les seules solutions puisque pour a = 4 y = 54 et que 54 fois 19 est supérieur à 1000
Il y a donc 4 paires de solutions pour x et y.
Mais comme on nous impose que les deux nombres recherchés soit premiers, il ne peut s'agire que de y = 41 et x = 17
Le groupe de Kolkhozien compte donc 41 hommes et 17 femmes.

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