La fête de la bière

Solution de l'énigme du n°863 de décembre 2004
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Enfin un problème de robinets ! Il était plus que temps.
Voyons la situation. Au départ la cuve est vide. Les deux robinets sont ouverts simultanément.
Le premier appellons-le A, remplirait la cuve en ¾ d'heure appelons son débit d.
Le second -B-, remplirait la cuve en 3 demi-heures. Son débit est donc deux fois inférieur à celui de A, soit d/2.
La vanne d'évacuation -C-, est ouverte. Elle viderait la cuve pleine en 3 heures. Son débit est donc deux fois inférieur à B. Il vaut d/4.
Additionnons les actions de B et C. Le débit de remplissage de d/2 est contrecaré par le débit d'évacuation d/4. L'ensemble est donc équivalent à un débit de remplissage de d/4.
Si vous n'êtes pas convaincu, notez positivement les débits de remplissage (+d et +d/2) et négativement le débit d'évacuation (-d/4). On a bien pour la somme de B et D :
d/2 - d/4 = d/4
Ainsi l'ensemble initial A, B, C est équivalent à deux robinets dont les débits s'additionnent : un robinet A au débit d, plus un robinet fictif (appellons-le D) au débit d/4.
Cela signifie que A remplit 4 fois plus vite la cuve que D.
Partageons la cuve en cinq parties. Pendant que A en rempli les 4/5, D rempli le 1/5 restant. La cuve est donc entièrement remplie.
Le temps recherché est donc celui qu'il faut au robinet A pour remplir les 4/5 de la cuve.
Soit : ¾ d'heure x 4/5 = 3/5ème d'heure

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